Ein Generator bezeichnet in der Quantenmechanik einen Operator, der Transformationen des Quantenzustands erzeugt. Diese Operatoren sind mit Symmetrien des Systems verbunden und entsprechen Erhaltungsgrößen wie Impuls, Drehimpuls oder Energie. Beispielsweise erzeugt der Generator räumlicher Translationen Positionsverschiebungen und wird in der Quantenmechanik durch den Impulsoperator repräsentiert.
Ein Quantengenerator arbeitet durch die Wirkung seines zugehörigen Operators auf den Quantenzustand. Beispielsweise wirkt der Rotationsgenerator, der in der Quantenmechanik dem Drehimpuls entspricht, auf den Zustand ein, um Rotationstransformationen zu erzeugen. Der Zustand entwickelt sich entsprechend den Eigenwerten dieser Operatoren und spiegelt die Erhaltungsgrößen und Symmetrien des Systems wider.
In der Quantenmechanik entspricht der Translationsgenerator dem Impulsoperator. Dieser Operator erzeugt Übersetzungen im Raum; Wenn es auf eine Wellenfunktion einwirkt, verschiebt es die Raumkoordinate und spiegelt so die Impulserhaltung in einem System mit Translationssymmetrie wider. Dieser Generator spielt eine entscheidende Rolle bei der Definition der Dynamik und des Verhaltens von Teilchen in Quantensystemen.
In der klassischen Mechanik bezieht sich ein Generator typischerweise auf eine Funktion, die Transformationen von Variablen im Phasenraum erzeugt. Beispielsweise ist in der Hamilton-Mechanik die Hamilton-Funktion selbst der Generator der Zeitentwicklung. Es erzeugt Transformationen der Phasenraumvariablen (Position und Impuls) über die Zeit und bestimmt die Flugbahn des Systems gemäß den Hamilton-Gleichungen.
Der Generator der Paritätstransformation in der Quantenmechanik ist der Paritätsoperator, der mit P bezeichnet wird. Er spiegelt die räumliche Umkehrsymmetrie wider, bei der der Paritätsoperator das Vorzeichen der Raumkoordinaten umdreht. Dieser Generator bestimmt, wie sich die Wellenfunktion bei räumlicher Inversion ändert und gibt an, ob das System Paritätssymmetrie aufweist oder nicht. In der Quantenfeldtheorie beispielsweise spielt der Paritätsgenerator eine grundlegende Rolle beim Verständnis der Eigenschaften von Teilchen und ihrer Wechselwirkungen im Hinblick auf die räumliche Inversionssymmetrie.